圆的基本性质

圆的定义

1． 描述性定义：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点 叫做圆心， 叫做半径．

2． 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．

3． 圆的表示方法：通常用符号 表示圆，定义中以 为圆心， 为半径的圆记作” “，读作”圆 “．

4． 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．

注意：同圆或等圆的半径相等．

弦和弧

1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的 倍．

3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的圆弧记作 ，读作弧 ．

5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

二、垂径定理（非常重要，每年必考）

圆的对称性

圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．

⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心．

圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：

所对的两圆心角相等

所对的两条弦相等

所对的两条弧相等

所对的两条弦的弦心距相等

注意：①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．

⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．

圆的轴对称性 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理

1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有： ，根据此公式，在 ， ， 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．