奇妙的再植数
在自然数里,会有好多巧妙的数字规律，让人感到奇异有趣.如142857×4=571428，76923×3=230769,式子中呈现了这样一种规律:一个数的倍数仍然是这个数字的循环排列,我们从中欣赏到一种秩序对称的美妙。如果给这类数下一个定义,即就是一个自然数A乘以一个自然数K，其积是A的各位数字的循环排列，那么称A是关于K的再植数。再植数的概念早在80年代的一本《数学通讯》月刊中就被提了出来。现在，我们要对再植数的范围、性质，作进一步的探讨，目的是希望大家对这类趣味数学有一个系统的了解。
怎样的一个数会成为我们探讨的再植数，这是我们首先关心的问题，由于再植数乘以一个数会成为这个数字的循环数，因此再植数与循环小数有着密切关系。我们知道：，，，，，，我们看到，分别乘以2，3，4，5，6以后获得的数的组成同完全一样，只是次序有了变化。如果我们把142857写在圆周上，我们看到（=1，2，3，4，5，6）恰好是142857的循环变化。
但不是所有的循环小数的循环节都是我们找的再植数，如，123并不是再植数。
为此我们考察一些质数的倒数：，，，,,……。
（=1，3，4，9，10，12）是的循环变化，（=2，5，6，7，8，11）是153846的循环变化。而（=1，2，……17）是0588235294117647的循环变化。
从中可见，循环小数的循环节长度与再植数密切相关。的循环节为1，为6，为2，为6，为16。当一个质数的倒数的循环节大于2时，其循环节与再值数相关.
由以上探讨，我们可以得到下列再植数，
(1)142857×k，（k=1，2，3，4，5，6）；
(2)153846×k，（k=1，3，4）；
(3)076923×k,(k=1,3,4,9,10,12)；
(4)0588235294117647×k,(k=1,2,3,……16)；
(5)052631578947368421×k,(k=1,2,3,4,……18)；
(6)0434782608695652173913×k，（k=1，2，3……22）;
(7)0689655172413793103448275862×k,(k=1,2,3,……28)；
（8）32258064516129×k,
(k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28);
96774193548387×k,(k=2,3,4,5,7,8,9,10)
（9）027×k,(k=1,10,26);
（10）02439×k,(k=10,16,18,37);
04878×k,(k=10,16,18);07317×10。
这些再植数，是我们考察7至41内的10个字数的倒数得到的，如果继续探讨下去，可发现再植数有无穷多个。
再植数有许多奇妙的性质：
1、与9的联系：142857×7=999999，142+857=999，14+28+57=99，1+4+2+8+5+7=27，而2+7=9。这种特点对于142857的倍数也成立，例如142857×285=40714245，245+714+40=999。
2、待合再值数，把再值数142857×7以上的数字时，也会出现一些有趣的现象。例如，8×142857=1142856，首尾相加后得142857，9×142857=1285713，首尾相加后得285714，……13×142857=1857141，首尾相加后得857142。14×142857=1999998，首尾相加后得999999。我们把上述现象称为待合再植数，待合再植数可归纳如下：
结论1：对于自然数m，若m≡i（mod7）i=1,2,3,4,5,6。那么m×142857的积的首几位数取下来加到末尾的几个位数上去。结果为142857×i。
证明：因m≡i(mod7),则m=7k+i,142857×m=142857×(7k+i),
=(142857×7)k+142857×i
=999999k+142857×i
=k×+142857×i-k
显然式中结果的首几位数为k，末几位数为142857i个位数减去k，将首位数k取下来加到末尾的几位上去，结果为142857i。
结论1中，当k≥10时，例如71×142857=10142847，我们首两位数取下来加在末两位数时，有142847+10=142857，可称为两位待合再植数，当k≥100时，如702×142857=100285614，首三位加末三位后得285714。可称为三位待合再植数。当k≥时，称为n+1位待合再植数。当n+1=6时，我们举下列例子：700001×142857=999999142857999999+142857=11428576。
1428576+1=142857。显然，在n+1≥6时，我们需要通过首尾两次以上的相合才能还原成再值数。
3、再值数的平方数。我们来考察下列再植数的平方数。①1428572=20408122449，但20408+122449=142857。
②5714282=326529959184，但326529+959184=1285713，
285713+1=285714，
③4285712=183673102041，但183673+102041=285714，
④8571422=734692408164，有734692+408164=1142856，
但142856+1=142857。
可见再植数的平方数，表现出一种很奇妙的特征，前6位与后6位的和，又可以重新变成了再植数。
现在我们索性来考察一下再植数的立方和四次幂，1428573=2915443148696793；
2915+443148+696793=1142856；
而142856+1=142857；
1428574=416491461，893377，575601，
而416+491461+893377+575601=2142855，而142855+2=142857，可以预见，再植数的各次幂，按6位6位相加，最后结果可得再植数。
4、再植数与数列，数列1，3，9，27，81，243，729，2187……，是公比为3的等比数列，下面我们进行一种限位叠加法，表示如下：1×105+3×104+9×103+27×102+81×101+243×100+729×10-1+2187×10-2+6561×10-3+19683×10-4+59049×10-5+177147×10-6+……，其结果的整数部分是142857，我们称这种运算为限位叠加法。我们还可用等差数列14，28，56，112，224……，限两位叠加，也可获得再植数142857。
以上性质对于其它一些再植数事来说大体上也都是成立的，成立的条件是再植数是一个质数的倒数，且的循环节的长度h达到最大值，这个最大周期为p-1，符合这个条件的质量有7，17，19，23，29，47，59，61，97，109，113，131等，按照国外数学研究者商克斯（Danillshanks）的估计，质数中大约只有符合这个条件。此外，他还证明，循环周期数为偶数的质数恰好比周期数为奇数的质数多一倍。
怎样的一个数会成为我们探讨的再植数，这是我们首先关心的问题，由于再植数乘以一个数会成为这个数字的循环数，因此再植数与循环小数有着密切关系。我们知道：，，，，，，我们看到，分别乘以2，3，4，5，6以后获得的数的组成同完全一样，只是次序有了变化。如果我们把142857写在圆周上，我们看到（=1，2，3，4，5，6）恰好是142857的循环变化。
但不是所有的循环小数的循环节都是我们找的再植数，如，123并不是再植数。
为此我们考察一些质数的倒数：，，，,,……。
（=1，3，4，9，10，12）是的循环变化，（=2，5，6，7，8，11）是153846的循环变化。而（=1，2，……17）是0588235294117647的循环变化。
从中可见，循环小数的循环节长度与再植数密切相关。的循环节为1，为6，为2，为6，为16。当一个质数的倒数的循环节大于2时，其循环节与再值数相关.
由以上探讨，我们可以得到下列再植数，
(1)142857×k，（k=1，2，3，4，5，6）；
(2)153846×k，（k=1，3，4）；
(3)076923×k,(k=1,3,4,9,10,12)；
(4)0588235294117647×k,(k=1,2,3,……16)；
(5)052631578947368421×k,(k=1,2,3,4,……18)；
(6)0434782608695652173913×k，（k=1，2，3……22）;
(7)0689655172413793103448275862×k,(k=1,2,3,……28)；
（8）32258064516129×k,
(k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28);
96774193548387×k,(k=2,3,4,5,7,8,9,10)
（9）027×k,(k=1,10,26);
（10）02439×k,(k=10,16,18,37);
04878×k,(k=10,16,18);07317×10。
这些再植数，是我们考察7至41内的10个字数的倒数得到的，如果继续探讨下去，可发现再植数有无穷多个。
再植数有许多奇妙的性质：
1、与9的联系：142857×7=999999，142+857=999，14+28+57=99，1+4+2+8+5+7=27，而2+7=9。这种特点对于142857的倍数也成立，例如142857×285=40714245，245+714+40=999。
2、待合再值数，把再值数142857×7以上的数字时，也会出现一些有趣的现象。例如，8×142857=1142856，首尾相加后得142857，9×142857=1285713，首尾相加后得285714，……13×142857=1857141，首尾相加后得857142。14×142857=1999998，首尾相加后得999999。我们把上述现象称为待合再植数，待合再植数可归纳如下：
结论1：对于自然数m，若m≡i（mod7）i=1,2,3,4,5,6。那么m×142857的积的首几位数取下来加到末尾的几个位数上去。结果为142857×i。
证明：因m≡i(mod7),则m=7k+i,142857×m=142857×(7k+i),
=(142857×7)k+142857×i
=999999k+142857×i
=k×+142857×i-k
显然式中结果的首几位数为k，末几位数为142857i个位数减去k，将首位数k取下来加到末尾的几位上去，结果为142857i。
结论1中，当k≥10时，例如71×142857=10142847，我们首两位数取下来加在末两位数时，有142847+10=142857，可称为两位待合再植数，当k≥100时，如702×142857=100285614，首三位加末三位后得285714。可称为三位待合再植数。当k≥时，称为n+1位待合再植数。当n+1=6时，我们举下列例子：700001×142857=999999142857999999+142857=11428576。
1428576+1=142857。显然，在n+1≥6时，我们需要通过首尾两次以上的相合才能还原成再值数。
3、再值数的平方数。我们来考察下列再植数的平方数。①1428572=20408122449，但20408+122449=142857。
②5714282=326529959184，但326529+959184=1285713，
285713+1=285714，
③4285712=183673102041，但183673+102041=285714，
④8571422=734692408164，有734692+408164=1142856，
但142856+1=142857。
可见再植数的平方数，表现出一种很奇妙的特征，前6位与后6位的和，又可以重新变成了再植数。
现在我们索性来考察一下再植数的立方和四次幂，1428573=2915443148696793；
2915+443148+696793=1142856；
而142856+1=142857；
1428574=416491461，893377，575601，
而416+491461+893377+575601=2142855，而142855+2=142857，可以预见，再植数的各次幂，按6位6位相加，最后结果可得再植数。
4、再植数与数列，数列1，3，9，27，81，243，729，2187……，是公比为3的等比数列，下面我们进行一种限位叠加法，表示如下：1×105+3×104+9×103+27×102+81×101+243×100+729×10-1+2187×10-2+6561×10-3+19683×10-4+59049×10-5+177147×10-6+……，其结果的整数部分是142857，我们称这种运算为限位叠加法。我们还可用等差数列14，28，56，112，224……，限两位叠加，也可获得再植数142857。
以上性质对于其它一些再植数事来说大体上也都是成立的，成立的条件是再植数是一个质数的倒数，且的循环节的长度h达到最大值，这个最大周期为p-1，符合这个条件的质量有7，17，19，23，29，47，59，61，97，109，113，131等，按照国外数学研究者商克斯（Danillshanks）的估计，质数中大约只有符合这个条件。此外，他还证明，循环周期数为偶数的质数恰好比周期数为奇数的质数多一倍。
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