花朵数
经常在自然数的世界里探索的人，总会被一些奇巧的等式所吸引，当我们第一次从资料上见到水仙花数（153=1３＋5３＋3３、370=3３＋7３＋0３、371=3３＋7３＋1３、407=4３＋0３＋7３）时，就对它们的名称和奇异和谐的数字美所震撼。从此，我们就一直在寻览和探索这种数学公园里的花儿朵朵的美丽景象。现在，通过电脑编程搜索，我们终于可以将花朵数问题作更进一步的研究了。
定义：设一个n位整数An=a1a2……an，如果An=a1ｎ＋a2ｎ＋……＋aｎｎ，则称An为n瓣花朵数，其中0≤ai≤9，i＝1,2,…，n。
一、一瓣花朵数：当n=1时，由定义可以知道，1－9各数的一次幂仍然是它本身，故我们把1、2、3、4、5、6、7、8、9通称为一位花朵数。一位中学生看到夜百荷花独开一枝的景象，就称一位花朵数为夜百荷数。任意一个自然数，当我们不断地求它的数字和后，最终得到的结果都是夜百荷数，比如9762136，91+71+61+21+31+61=34,31+41=7。实际上，这种运算是求一个自然数除以9的余数的快速方法。
二、二瓣花朵数。当n=2时，满足定义a2+b2=ab的自然数称为二瓣花朵数，但二瓣花朵数是不存在的。但我们从任意一个数出发，反复求各位数字的平方和，最终必定是两种结果，一种结果是1，另一种是进入一个呈周期变化的圈：（20，4，16，37，58，89，145，42），文（2）《奇妙的幻方》一书中，将这一组数称为菊花数。
为了全面研究自然数各位数字的方幂和的规律，我们给出下列定义：
定义2：设一个有m个数的数组（a1a2…an,b1b2…bn，c1c2…cn，……,d1d2…dn）,如果a1ｎ＋a2ｎ＋…＋aｎｎ＝b1b2…bn，b1ｎ＋b2ｎ＋…＋bｎｎ＝c1c2…cn，……，d1ｎ＋d2ｎ＋…＋dｎｎ＝a1a2…an）,那么称这组数为n瓣花卉数，m称为周期，其中0≤ai，bi，ci，di≤9，i＝1,2,…，n。
根据定义2上述菊花数实际上是周期为8的二瓣花卉数。
三、三瓣花朵数。本文开头所提到的四个水仙花数，就是三瓣花朵数，资料表明，首先发现水仙花数的人是英国大数学家哈带（G.H.Hardy,1877-1947）。在我国两本杂志上，也曾刊登过对水仙花数的进一步的研究，他们分别又得出了四个水仙花卉数：（136,244）；（919，1459）；（55，250，133）；（160，217，352）。
对于什么样的自然数n有花朵数?这样的n是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n,如果有花朵数,那么有多少个花朵数?我们起初以为对于任意的n都存在花朵数，但1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(AnthonyDiluna)巧妙地证明了使n位数成为花朵数的n只有有限个：
设An是n瓣花朵数,即An=a1a2…an=a1ｎ＋a2ｎ＋……＋aｎｎ，(其中0≤a1，a2，a3，...，an≤9)，从而10n-1≤An≤n×9n，即n必须满足n×9n>10n-1，也就是(10/9)n<10n，随着自然数n的不断增大,(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得(10/9)n<10n不成立,因此,满足(10/9)n<10n的n不能无限增大,即n只能取有限多个，进一步的计算表明:
(10/9)60=556.4798…<600=10×60，(10/9)61=618.3109…>610=10×61。
对于n≥61,便有(10/9)n>10n，由此可知,使不等式(10/9)n<10n成立的自然数n≤60，故满足定义的花朵数的位数最多是60。但当首位数为几个0时，也可以满足定义，我们称它为广义花朵数，广义花朵数是没有位数限制的。
四、四瓣花朵数（桃花数）。寻找花朵数的方法，最完整的方法是全面的计算和搜索。例如，由12出发，屡次进行数字的四次幂和的运算，最终必能得到一个四瓣花朵数8208，计算顺序是12，17，2402，288，8208，8208……。通过全面考察我们得到四瓣花朵数有三个：1634，9474，8208；四瓣花卉数有两个：（1138，4179，9219，13139，6725，4338，4514，1138）；（2178，6514），可以断定四瓣花卉数总共有两个，因为我们已经作了全面的考查。
五．多瓣花朵数。
1.五瓣花朵数（梅花数）。我们找到了三个五瓣花朵数：54748，92727，93084，还有两个广义解：04151，04150，但五瓣花卉数太多，周期又太长，我们无法全部罗列出来，下面是三个周期数较短的花卉数：（89883，157596）；（58618，76438）；（73318，50062，10933，59536）。我们发现的一个周期较长的花卉数是（83190，92061，66858，84213，34068，41811，33795，79467，101463，9045，63198，99837，167916，91410，60075，27708，66414，17601，24585，40074，18855，71787，83190），周期为22。
2六瓣花朵数（雪花数）。只有一个雪花数548834，但我们发现了三个周期较短的六瓣花卉数为：（63804，313625）；（282595，824963，845130）；（313179，650550，93531，548525）。
3.七瓣花朵数（玫瑰数）。共有四个玫瑰数：1741725，4210818，9800817，9926315；我们只找到了两个周期为2的花卉数：（8139850，9057586）和（6586433，2755907）。
4.八瓣花朵数（牡丹数）。八瓣花朵数共有三个：24678050，24678051，88593477。只发现了一个花卉数，它是（43053284,17246755,13665636,5442596,45638915,61966276,53850627,19244899,103001987,43053284）。
随着次数的不断扩大，研究多瓣花朵数的难度将会迅速增大。我们现在只是彻底弄清了１－8各瓣花朵数，１－4各瓣花卉数。至于n≥9的花朵数，即使我们应用电子表格研究寻找，也感到十分困难，望对此感兴趣的读者继续予以研究。
定义：设一个n位整数An=a1a2……an，如果An=a1ｎ＋a2ｎ＋……＋aｎｎ，则称An为n瓣花朵数，其中0≤ai≤9，i＝1,2,…，n。
一、一瓣花朵数：当n=1时，由定义可以知道，1－9各数的一次幂仍然是它本身，故我们把1、2、3、4、5、6、7、8、9通称为一位花朵数。一位中学生看到夜百荷花独开一枝的景象，就称一位花朵数为夜百荷数。任意一个自然数，当我们不断地求它的数字和后，最终得到的结果都是夜百荷数，比如9762136，91+71+61+21+31+61=34,31+41=7。实际上，这种运算是求一个自然数除以9的余数的快速方法。
二、二瓣花朵数。当n=2时，满足定义a2+b2=ab的自然数称为二瓣花朵数，但二瓣花朵数是不存在的。但我们从任意一个数出发，反复求各位数字的平方和，最终必定是两种结果，一种结果是1，另一种是进入一个呈周期变化的圈：（20，4，16，37，58，89，145，42），文（2）《奇妙的幻方》一书中，将这一组数称为菊花数。
为了全面研究自然数各位数字的方幂和的规律，我们给出下列定义：
定义2：设一个有m个数的数组（a1a2…an,b1b2…bn，c1c2…cn，……,d1d2…dn）,如果a1ｎ＋a2ｎ＋…＋aｎｎ＝b1b2…bn，b1ｎ＋b2ｎ＋…＋bｎｎ＝c1c2…cn，……，d1ｎ＋d2ｎ＋…＋dｎｎ＝a1a2…an）,那么称这组数为n瓣花卉数，m称为周期，其中0≤ai，bi，ci，di≤9，i＝1,2,…，n。
根据定义2上述菊花数实际上是周期为8的二瓣花卉数。
三、三瓣花朵数。本文开头所提到的四个水仙花数，就是三瓣花朵数，资料表明，首先发现水仙花数的人是英国大数学家哈带（G.H.Hardy,1877-1947）。在我国两本杂志上，也曾刊登过对水仙花数的进一步的研究，他们分别又得出了四个水仙花卉数：（136,244）；（919，1459）；（55，250，133）；（160，217，352）。
对于什么样的自然数n有花朵数?这样的n是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n,如果有花朵数,那么有多少个花朵数?我们起初以为对于任意的n都存在花朵数，但1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(AnthonyDiluna)巧妙地证明了使n位数成为花朵数的n只有有限个：
设An是n瓣花朵数,即An=a1a2…an=a1ｎ＋a2ｎ＋……＋aｎｎ，(其中0≤a1，a2，a3，...，an≤9)，从而10n-1≤An≤n×9n，即n必须满足n×9n>10n-1，也就是(10/9)n<10n，随着自然数n的不断增大,(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得(10/9)n<10n不成立,因此,满足(10/9)n<10n的n不能无限增大,即n只能取有限多个，进一步的计算表明:
(10/9)60=556.4798…<600=10×60，(10/9)61=618.3109…>610=10×61。
对于n≥61,便有(10/9)n>10n，由此可知,使不等式(10/9)n<10n成立的自然数n≤60，故满足定义的花朵数的位数最多是60。但当首位数为几个0时，也可以满足定义，我们称它为广义花朵数，广义花朵数是没有位数限制的。
四、四瓣花朵数（桃花数）。寻找花朵数的方法，最完整的方法是全面的计算和搜索。例如，由12出发，屡次进行数字的四次幂和的运算，最终必能得到一个四瓣花朵数8208，计算顺序是12，17，2402，288，8208，8208……。通过全面考察我们得到四瓣花朵数有三个：1634，9474，8208；四瓣花卉数有两个：（1138，4179，9219，13139，6725，4338，4514，1138）；（2178，6514），可以断定四瓣花卉数总共有两个，因为我们已经作了全面的考查。
五．多瓣花朵数。
1.五瓣花朵数（梅花数）。我们找到了三个五瓣花朵数：54748，92727，93084，还有两个广义解：04151，04150，但五瓣花卉数太多，周期又太长，我们无法全部罗列出来，下面是三个周期数较短的花卉数：（89883，157596）；（58618，76438）；（73318，50062，10933，59536）。我们发现的一个周期较长的花卉数是（83190，92061，66858，84213，34068，41811，33795，79467，101463，9045，63198，99837，167916，91410，60075，27708，66414，17601，24585，40074，18855，71787，83190），周期为22。
2六瓣花朵数（雪花数）。只有一个雪花数548834，但我们发现了三个周期较短的六瓣花卉数为：（63804，313625）；（282595，824963，845130）；（313179，650550，93531，548525）。
3.七瓣花朵数（玫瑰数）。共有四个玫瑰数：1741725，4210818，9800817，9926315；我们只找到了两个周期为2的花卉数：（8139850，9057586）和（6586433，2755907）。
4.八瓣花朵数（牡丹数）。八瓣花朵数共有三个：24678050，24678051，88593477。只发现了一个花卉数，它是（43053284,17246755,13665636,5442596,45638915,61966276,53850627,19244899,103001987,43053284）。
随着次数的不断扩大，研究多瓣花朵数的难度将会迅速增大。我们现在只是彻底弄清了１－8各瓣花朵数，１－4各瓣花卉数。至于n≥9的花朵数，即使我们应用电子表格研究寻找，也感到十分困难，望对此感兴趣的读者继续予以研究。
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