非等差数列巧求和

来源：人人学教育人人学教育编辑：King发布日期：2013-07-13 00:00:00

例1:计算:
　　
　　19+199+1999+19999+199999
　　
　　解:
　　
　　19+199+1999+19999+199999
　　
　　=20+200+2000+20000+200000-1×5=222220-5
　　
　　=222215
　　
　　例2:1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2
　　
　　运用公式:1^2+2^2+3^2+……+N^2=N(N+1)×(2N+1)÷6
　　
　　解:1^2+2^2+3^2+……10^2
　　
　　=10×(10+1)×(2×10+1)÷6
　　
　　=10×11×21÷6
　　
　　=385
　　
　　例3:2+8+18+32+……+200
　　
　　解:2+8+18+32+……+200
　　
　　=2×(1+4+9+16+……+100)
　　
　　=2×(1^2+2^2+3^2+4^2+……+10^2)
　　
　　=2×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
　　
　　=2×10×11×21÷6
　　
　　=770
　　
　　例4:20^2+21^2+22^2+……+50^2
　　
　　解:20^2+21^2+22^2+……+50^2
　　
　　=(1^2+2^2+3^2+……+50^2)-(1^2+2^2+3^2+……+19^2)
　　
　　=50×(50+1)×(2×50+1)÷6-19×(19+1)×(2×19+1)÷6
　　
　　=42925-2470
　　
　　=40455
　　
　　例5:一堆相同的立方体堆积如右图所示,第一层1个,第2层3个,第三层6个,……，第二十层有多少个?
　　
　　解:第一层有:1个
　　
　　第二层有:1+2个
　　
　　第三层有:1+2+3=6个……
　　
　　第二十层有:1+2+3+……+20=210个
　　
　　____________________练习_____________________
　　
　　(1)599996+49997+3998+409
　　
　　解：原式=600000+50000+4000+400-4-3-2+9=654400
　　
　　(2)3+12+27+……＋1200
　　
　　解：原式=3×(1+4+9+……400)=3×(1^2+2^2+3^2+……+20^2)
　　
　　=3×20×(20+1)×(2×20+1)÷6=3×20×21×41÷6=8610
　　
　　(3)1^2+2^2+3^2+……+100^2
　　
　　解：原式=100×(100+1)×(2×100+1)÷6
　　
　　=100×101×201÷6
　　
　　=338350
　　
　　(4)50^2+51^2+52^2+……+100^2
　　
　　解：原式=(1^2+2^2+3^2+……+100^2)-(1^2+2^2+3^2+……+49^2)
　　
　　=100×(100+1)×(2×100+1)÷6-49×(49+1)×(2×49+1)÷6
　　
　　=338350-40425
　　
　　=297925
　　
　　(5)5+20+45+80+……+500
　　
　　解：原式=5×(1+4+9+16+……+100)
　　
　　=5×(1^2+2^2=3^2+4^2+……+10^2)
　　
　　=5×[10×(10+1)×(2×10+1)÷6]
　　
　　=1925